Главная » Как правильно разное

Гранью правильного многогранника не может быть правильный

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным. если все его грани — равные правильные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника равны, все двугранные углы правильного многогранника равны, все многогранные углы правильного многогранника равны. Существует ровно пять выпуклых правильных многогранников:

Выпуклый многогранник называется правильным , если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника равны друг другу. Равны также все его двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

Грани правильного многогранника могут быть либо равносторонними треугольниками, либо квадратами, либо правильными пятиугольниками. Действительно, угол правильного -угольника при не меньше . С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при , то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем . Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников. Других возможностей нет.

Правильный тетраэдр (четырехгранник) — многогранник, составленный из четырех правильных треугольников (рис.1а).
  • Правильный гексаэдр (шестигранник) или куб — многогранник, составленный из шести правильных четырехугольников (квадратов) (рис. 1б).
  • Правильный октаэдр (восьмигранник) — многогранник, составленный из восьми правильных треугольников (рис. 1в).
  • Правильный додекаэдр (двенадцатигранник) — многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников (рис. 1г).
  • Правильный икосаэдр (двадцатигранник) — многогранник, составленный из двадцати правильных треугольников (рис. 1д).


  • 8.1. Определение правильного многогранника

    Среди плоских многоугольников особое место занимают правильные многоугольники. Как известно, для любого натурального n на плоскости существует правильный n -угольник. Естественно задаться вопросом, имеет ли место подобный факт в пространстве? Существуют ли «правильные многогранники», и что это такое?

    Еще в древней Греции были известны пять удивительных многогранников.

    Их изучали ученые, ювелиры, священники, архитекторы. Этим многогранникам даже приписывали магические свойства. Древнегреческий ученый и философ Платон (IV–V в до н. э.) считал, что эти тела олицетворяют сущность природы. В своем диалоге «Тимей» Платон говорит, что атом огня имеет вид тетраэдра, земли – гексаэдра (куба), воздуха – октаэдра, воды – икосаэдра. В этом соответствии не нашлось места только додекаэдру и Платон предположил существование еще одной, пятой сущности – эфира, атомы которого как раз и имеют форму додекаэдра. Ученики Платона продолжили его дело в изучении перечисленных тел. Поэтому эти многогранники называют платоновыми телами .

    Многогранник называется правильным. если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер и все двугранные углы равны.

    Оказывается, что существует всего пять видов правильных многогранников. Докажем это, а затем предъявим каждый из них, доказав тем самым их существование.

    Рассмотрим многогранный угол с вершиной S. у которого равны все плоские и все двугранные углы. Выберем на его ребрах точки A 1. A 2. …, A n так, что SA 1 = SA 2 = … = SA n. Тогда точки A 1. A 2. …, A n лежат в одной плоскости и являются вершинами правильного n -угольника.

    Докажем, что любые идущие подряд точки лежат в одной плоскости. Рассмотрим четыре подряд идущие точки A 1. A 2. A 3 и A 4. Пирамиды SA 1 A 2 A 3 и SA 2 A 3 A 4 равны, поскольку их можно совместить, совместив ребра SA 2 и SA 3 (берутся, разумеется, ребра разных пирамид) и двугранные углы при этих ребрах. Аналогично можно показать, что равны пирамиды SA 1 A 3 A 4 и SA 1 A 2 A 4. поскольку все их ребра равны. Отсюда следует равенство

    Из последнего равенства следует, что объем пирамиды A 1 A 2 A 3 A 4 равен нулю, то есть указанные четыре точки лежат в одной плоскости. Значит, все n точек лежат в одной плоскости, и в n -угольнике A 1 A 2 … A n равны все стороны и углы. Значит, он правильный, и лемма доказана.

    Существует не более пяти различных видов правильных многогранников.

    Из определения правильного многогранника следует, что его гранями могут быть лишь треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Действительно, докажем например, что грани не могут быть правильными шестиугольниками. По определению правильного многогранника, в каждой его вершине должны сходиться не менее трех граней. Однако, в правильном шестиугольнике углы равны 120°. Получается, что сумма трех плоских углов выпуклого многогранного угла равна 360°, а это невозможно, так как эта сумма всегда меньше 360°. Тем более грани правильного многогранника не могут оказаться многоугольниками с большим числом сторон.

    Выясним, сколько граней может сходиться в вершине правильного многогранника. Если все его грани – правильные треугольники, то к каждой вершине могут прилегать не более пяти треугольников, так как иначе сумма плоских углов при этой вершине будет не менее 360°, что, как мы убедились, невозможно. Итак, если все грани правильного многогранника – правильные треугольники, то к каждой вершине прилегают три, четыре или пять треугольников. Аналогичными рассуждениями убеждаемся, что в каждой вершине правильного многогранника, грани которого – правильные четырехугольники и пятиугольники, сходятся ровно три ребра.

    Докажем теперь, что существует только один многогранник заданного типа с фиксированной длиной ребра. Рассмотрим, например, случай, когда все грани – правильные пятиугольники. Предположим противное: пусть существует два многогранника, все грани которых – правильные пятиугольники со стороной a. а все двугранные углы в каждом многограннике равны между собой. Отметим, что необязательно все двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого многогранника: именно это мы сейчас и докажем.

    Как мы показали, из каждой вершины каждого многогранника выходит три ребра. Пусть из вершины А одного многогранника выходят ребра AB. AC и AD. а из вершины A 1 другого – ребра A 1 B 1. A 1 C 1 и A 1 D 1. ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 – правильные треугольные пирамиды, так как у них равны ребра, выходящие из вершин A и A 1. и плоские углы при этих вершинах. Отсюда следует, что двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого. Значит, если мы совместим пирамиды ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1. то совместятся и сами многогранники. Значит, если существует правильный многогранник, все грани которого – правильные пятиугольники со стороной a. то такой многогранник единственный.

    Аналогично рассматриваются остальные многогранники. В том, случае, когда все грани – треугольники и к каждой вершине примыкают четыре или пять треугольников, следует воспользоваться леммой 8.1. Из нее следует, что концы ребер, выходящих из одной вершины, лежат в одной плоскости и служат вершинами правильного четырех- и пятиугольника. Теорема доказана.

    Заметим, что из этой теоремы не следует, что существует именно пять видов правильных многогранников. Теорема лишь утверждает, что таких видов не более пяти, а теперь нам осталось доказать, что этих видов действительно пять, предъявив все пять видов многогранников.

    Почему правильных многоугольников сколько угодно, а правильных многогранников всего пять?

    Анатолий Гений (85040) 5 лет назад

    Существует не более пяти различных видов правильных многогранников.

    Из определения правильного многогранника следует, что его гранями могут быть лишь треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Действительно, докажем например, что грани не могут быть правильными шестиугольниками. По определению правильного многогранника, в каждой его вершине должны сходиться не менее трех граней. Однако, в правильном шестиугольнике углы равны 120°. Получается, что сумма трех плоских углов выпуклого многогранного угла равна 360°, а это невозможно, так как эта сумма всегда меньше 360°. Тем более грани правильного многогранника не могут оказаться многоугольниками с большим числом сторон.

    Выясним, сколько граней может сходиться в вершине правильного многогранника. Если все его грани – правильные треугольники, то к каждой вершине могут прилегать не более пяти треугольников, так как иначе сумма плоских углов при этой вершине будет не менее 360°, что, как мы убедились, невозможно. Итак, если все грани правильного многогранника – правильные треугольники, то к каждой вершине прилегают три, четыре или пять треугольников. Аналогичными рассуждениями убеждаемся, что в каждой вершине правильного многогранника, грани которого – правильные четырехугольники и пятиугольники, сходятся ровно три ребра.

    Докажем теперь, что существует только один многогранник заданного типа с фиксированной длиной ребра. Рассмотрим, например, случай, когда все грани – правильные пятиугольники. Предположим противное: пусть существует два многогранника, все грани которых – правильные пятиугольники со стороной a, а все двугранные углы в каждом многограннике равны между собой. Отметим, что необязательно все двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого многогранника: именно это мы сейчас и докажем.

    Как мы показали, из каждой вершины каждого многогранника выходит три ребра. Пусть из вершины А одного многогранника выходят ребра AB, AC и AD, а из вершины A1 другого – ребра A1B1, A1C1 и A1D1. ABCD и A1B1C1D1 – правильные треугольные пирамиды, так как у них равны ребра, выходящие из вершин A и A1, и плоские углы при этих вершинах. Отсюда следует, что двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого. Значит, если мы совместим пирамиды ABCD и A1B1C1D1, то совместятся и сами многогранники. Значит, если существует правильный многогранник, все грани которого – правильные пятиугольники со стороной a, то такой многогранник единственный.

    Аналогично рассматриваются остальные многогранники. В том, случае, когда все грани – треугольники и к каждой вершине примыкают четыре или пять треугольников, следует воспользоваться леммой 8.1. Из нее следует, что концы ребер, выходящих из одной вершины, лежат в одной плоскости и служат вершинами правильного четырех- и пятиугольника. Теорема доказана.

    НАТАЛИ-Я Мыслитель (7995) 5 лет назад

    Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.). а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. Что же они из себя представляют?

    В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г. ) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20.

    Отчет на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг. ) в работе «Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр).

    Ringo-chan Мудрец (17722) 5 лет назад

    пифагор с теэтетом плачут кровавыми слезами на небесах: они не ожидали что их открытия будут приписаны столь далекому отпрыску

    кстати у вас в ответе 4 а на картинке 5 )

    Ringo-chan Мудрец (17722) 5 лет назад

    доказательство этого факта простое. по определению: правильный многогранник составляется из правильных многоугольников в каждой вершине сходится одинаковое число ребер. чтобы построение было возможным сумма сходящихся в одной точке плоских углов должна быть строго меньше 2pi (иначе многогранный угол не сомкнется) и этих углов должны быть минимум 3 (иначе многогранный угол будет вырожденным)

    ) треугольники. угол при вершине = pi/3. n*pi/3 2pi = n=3..5
    .) квадраты. угол при вершине = pi/2. n*pi/2 2pi = n=3
    .) пятиугольники. угол при вершине 3pi/5. n*3pi/5 2pi = n=3
    для шестиугольников и выше тройной угол при вершине не меньше 2pi поэтому выше перечислены все (5) возможные случаи.

    может быть ваш вопрос почему подразумевает желание получить объяснение на пальцах. можно сказать так: условие правильности для многранника ОКАЗАЛОСЬ существенно жестче чем для многоугольника

    Niemand Искусственный Интеллект (117374) 5 лет назад

    А в 4-х мерном пространстве правильных многогранников всего два: симплекс (аналог тетраэдра) и 4-х мерный куб. А в пятимерном - опять больше (пардон, если ошибаюсь, но вроде бы так). Доказательства для каждого случая, конечно, есть, и в них можно разобраться, но в общем, это остается непонятным (для меня, по крайней мере).

    Ringo-chan Мудрец (17722) боюсь как бы ваш вопрос почему не оказался из разряда почему e^i*pi = -1

    Leonid Высший разум (378801) 5 лет назад

    Потому что мы живёт в трёхмерном мире. В четырёхмерном мире уже другие правила игры, и там число возможных вариантов становится другим.

    Источники: http://fmclass.ru/phys.php?id=4862645729b7c, http://multiring.ru/course/stereometry/content/chapter8/section/paragraph1/theory.html, http://otvet.mail.ru/question/56748949



    Комментариев пока нет!

    Ваше имя *
    Ваш Email *

    Сумма цифр внизу: код подтверждения




    Статьи по теме